Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)二模）如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點(diǎn)D在線段AC上，DE⊥AB于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））．
（Ⅰ）求證：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)翻折后DE仍然與BE、PE垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由線面垂直的性質(zhì)可得PB⊥DE；
（II）分別以DE、BE、PE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PE=a，可得點(diǎn)B、D、C、P關(guān)于a的坐標(biāo)形式，從而得到向量

PB

、

BC

坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，解出平面PCD的一個(gè)法向量為

n

=（1，1，

4-a

a

），由PD與平面PBC所成的角為30°和向量

PD

的坐標(biāo)，建立關(guān)于參數(shù)a的方程，解之即可得到線段PE的長(zhǎng)．

解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）
∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，
又∵PB?平面PEB，∴BP⊥DE；                      …．（4分）
（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，
∴分別以DE、BE、PE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），…（5分）
設(shè)PE=a，則B（0，4-a，0），D（a，0，0），C（2，2-a，0），
P（0，0，a），…（7分）
可得

PB

=(0，4-a，-a)，

BC

=(2，-2，0)，…（8分）
設(shè)面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
∴

(4-a)y-az=0 2x-2y=0

令y=1，可得x=1，z=

4-a

a

因此

n

=(1，1，

4-a

a

)是面PBC的一個(gè)法向量，…（10分）   
∵

PD

=(a，0，-a)，PD與平面PBC所成角為30°，…（12分）
∴sin30°=|cos＜

PD

，

n

＞|，即|

a-(4-a)

2a2 × 2+ (4-a)2 a2

|=

1

2

，…（11分）
解之得：a=

4

5

，或a=4（舍），因此可得PE的長(zhǎng)為

4

5

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面圖形的翻折，求證線面垂直并在已知線面角的情況下求線段PE的長(zhǎng)，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量研究直線與平面所成角的求法等知識(shí)，屬于中檔題．