Question

已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心．
（1）求證：BC⊥SA
（2）若S在底面ABC內(nèi)的射影為O，證明：O為底面△ABC的中心；
（3）若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=2

3

，求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）由AH⊥面SBC，BC在面SBC內(nèi)，知H是△SBC的垂心，故SH⊥BC，由此能夠證明BC⊥SA．
（2）由SO⊥面ABC，知SO⊥BC，由BC⊥SA，知BC⊥面SOA，故AO⊥BC，同理AB⊥OC，由此能夠證明故O為底面△ABC的中心．
（3）由（1）有SA=SB=SC=2

3

，設(shè)CO交AB于F，則CF⊥AB，CF是EF在面ABC內(nèi)的射影，得到∠EFC為二面角H-AB-C的平面角，由此能求出三棱錐S-ABC的體積．

解答：證明：（1）∵AH⊥面SBC，BC在面SBC內(nèi)，
∴AH⊥BC，
∵H是△SBC的垂心，∴SH⊥BC，
又∵SH∩AH=H，∴BC⊥面SAH，
∴BC⊥SA．…（4分）

(2)∵SO⊥面ABC，BC在面ABC內(nèi)∴SO⊥BC，

又∵BC⊥SA，SA∩SO=S，
∴BC⊥面SOA，
∴AO⊥BC，同理AB⊥OC，…（8分）
因此O為底面△ABC的垂心，
而三棱錐S-ABC的底面是正三角形，
故O為底面△ABC的中心．
（3）由（1）有SA=SB=SC=2

3

，
設(shè)CO交AB于F，則CF⊥AB，CF是EF在面ABC內(nèi)的射影，
∴EF⊥AB，∴∠EFC為二面角H-AB-C的平面角，
∠EFC=30°，∠ECF=60°，
OC=

3

，SO=3，AB=3，
S△ABC=

3

4

•32=

9 3

4

，
∴VS-ABC=

1

3

S△ABC•SO=

9 3

9

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查三角形中心的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，合理地化空間問題為平面問題．