Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）若，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），           ………………2分

xf′（x）=xlnx+1，

題設(shè)xf′（x）≤x²+ax+1等價于lnx-x≤a，

令g（x）=lnx-x，則g’（x）=。         ………………4分

當0<x<1時，g’（x）>0；當x≥1時，g’（x）≤0，x=1是g（x）的最大值點，

g（x）≤g（1）=-1。         ………………6分

綜上，a的取值范圍是[-1,+∞）。           ………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；

當0<x<1時，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0； ………10分

當x≥1時，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）

  =lnx+x（lnx+-1）≥0

所以（x-1）f（x）≥0   

【解析】略