Question

已知函數f（x）=4^x-a•2^x+1+9，x∈[0，2]，
（1）當a=4，證明：函數y=f（x）是[0，2]上的單調遞減函數；
（2）若函數y=f（x）是[0，2]上的單調函數，求a取值范圍；
（3）若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，求a取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=4時，令t=2^x，得f（x）=g（t）=（t-4）²-7，由指數函數、二次函數的性質，結合復合函數的單調性法則即可證出y=f（x）是[0，2]上的單調遞減函數；
（2）根據指數函數、二次函數的性質，結合復合函數的單調性法，可得區(qū)間[1，4]是（-∞，a]或[a，+∞）的子集，由此解關于a的不等式即可得出實數a的取值范圍；
（3）f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（x）的最小值大于或等于0．因此分3種情況求函數y=f（x）在[0，2]上的最小值，解關于a的不等式，最后綜合即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）a=4時，f（x）=4^x-4•2^x+1+9=4^x-8•2^x+9，x∈[0，2]，
設t=2^x，得t∈[1，4]，
f（x）=g（t）=t²-8t+9=（t-4）²-7
∵t=2^x在區(qū)間[0，2]上是增函數，且g（t）=（t-4）²-7在區(qū)間[1，4]上是減函數，
∴f（x）=4^x-4•2^x+1+9在區(qū)間[0，2]上是單調遞減函數；
（2）令t=2^x，得t∈[1，4]，f（x）=g（t）=t²-2at+9，
∵t=2^x在[0，2]上是增函數，且g（t）=t²-2at+9在（-∞，a]或[a，+∞）上是單調函數
∴區(qū)間[1，4]是（-∞，a]的子集，或[1，4]是[a，+∞）的子集
由此可得a≥4或a≤1，即a的取值范圍為（-∞，1]∪[4，+∞）；
（3）由（2）可得
①當a≤1時，f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（0）≥0，解之得a≤5
綜合可得：a≤1；
②當a≥4時，f（x）在區(qū)間[0，2]上是減函數，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（2）≥0，解之得a≤

17

8

綜合可得找不出實數a的取值；
③當1＜a＜4時，f（x）在區(qū)間[0，2]上先減后增，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（log₂a）≥0，解之得-3≤a≤3
綜合可得：1＜a≤3
綜上所述，若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，實數a的取值范圍為（-∞，3]．

點評：本題給出以指數式2^x為單位的“類二次”函數，討論函數的單調性與最值，著重考查了函數單調性的判斷與證明、復合函數單調性的判斷和函數恒成立等知識點，屬于中檔題．