Question

(本小題滿分13分)

     給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”。若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為。

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)。求證：⊥.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052310403420311924/SYS201205231043022500642914_DA.files/image001.png">，所以                        2分

所以橢圓的方程為，    準(zhǔn)圓的方程為.       4分

（2）①當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052310403420311924/SYS201205231043022500642914_DA.files/image006.png">與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，

當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)

此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是

(或，即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時(shí)，直線垂直.                 7分

②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中，

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，

則，消去得到，

即，

，

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：，               9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052310403420311924/SYS201205231043022500642914_DA.files/image016.png">，所以有，

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052310403420311924/SYS201205231043022500642914_DA.files/image005.png">與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.                                13分

 

【解析】略