Question

【題目】如圖，已知四棱錐 中， .

（1）證明：頂點(diǎn)在底面的射影在的平分線上；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）余弦值為.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意作出底面，分別作，垂直分別為，連接，證明，進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義得到結(jié)論；（2）建立坐標(biāo)系，計(jì)算兩個(gè)面的二面角，再由公式得到兩個(gè)法向量的夾角。

解析：

（1）設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)在底面的射影，連接，則底面，

分別作，垂直分別為，連接，

因?yàn)?/span>底面, 底面，所以，

又 ，所以平面平面，

所以，

同理，即，

又，所以，

所以，又，所以，

所以，所以為的平分線.

（2）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>為的平分線，

所以，所以，

則，

所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則 ，可取，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則由，可取，

所以 ，

所以二面角的余弦值為.