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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          


          
	
          
			
          

			
          
				精英家教網(wǎng)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于點(diǎn)E，
          求證：（1）BD1⊥平面ACB1；
          （2）BE=
          12
          ED1．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）利用向量的數(shù)量積
          BD1
          •
          AC
          =0          ，
          BD1
          • 
          AB1
          =0          ，從而證明BD1⊥平面ACB1；
          （2）設(shè)底面正方形的對角線AC、BD交于點(diǎn)M，推出2
          BM
          =
          B1D1
          ．設(shè)
          OB
          =b，
          OM
          =m，
          OB1
          =b1，
          OD1
          =d1，求得點(diǎn)E分線段B1M及D1B各成λ（λ=2）之比，點(diǎn)E是D1B與平面ACB1之交點(diǎn)，此交點(diǎn)E將D1B分成2與1之比，即BE=
          1
          2
          ED1．
          解答：證明：（1）先證明BD1⊥AC．
          ∵
          BD1
          =
          BC
          +
          CD
          +
          DD1
          ，
          AC
          =
          AB
          +
          BC
          ，
          ∴
          BD1
          •
          AC
          =（
          BC
          +
          CD
          +
          DD1
          ）•（
          AB
          +
          BC
          ）
          =
          BC
          •
          BC
          +
          CD
          •
          AB
          =
          BC
          •
          BC
          -
          AB
          •
          AB
          =|
          BC
          |2-|
          AB
          |2
          =1-1=0．
          ∴BD1⊥AC．同理可證BD1⊥AB1，
          于是BD1⊥平面ACB1．
          （2）設(shè)底面正方形的對角線AC、BD交于點(diǎn)M，則
          BM
          =
          1
          2
          BD
          =
          1
          2
          B1D1
          ，即2
          BM
          =
          B1D1
          ．
          對于空間任意一點(diǎn)O，設(shè)
          OB
          =b，
          OM
          =m，
          OB1
          =b1，
          OD1
          =d1，
          則上述等式可改寫成2（m-b）=d1-b1或b1+2m=d1+2b．記
          b1+2m
          1+2
          =
          d1+2b
          1+2
          =e．
          此即表明，由e向量所對應(yīng)的點(diǎn)E分線段B1M及D1B各成λ（λ=2）之比，
          所以點(diǎn)E既在線段B1M（B1M?面ACB1）上又在線段D1B上，
          所以點(diǎn)E是D1B與平面ACB1之交點(diǎn)，此交點(diǎn)E將D1B分成2與1之比，
          即D1E：EB=2：1．∴BE=
          1
          2
          ED1．
          點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查轉(zhuǎn)化思想，邏輯思維能力，是中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          11、如圖所示在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動，給出以下四個命題：
          ①異面直線C1P和CB1所成的角為定值；
          ②二面角P-BC1-D的大小為定值；
          ③三棱錐D-BPC1的體積為定值；
          ④直線CP與直線ABC1D1所成的角為定值．
          其中真命題的個數(shù)為（　�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AB與CD1之間的距離是（　　）
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1 和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值是（　�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （理科）如圖，在棱長為1的正方體A'C中，過BD及B'C'的中點(diǎn)E作截面BEFD交C'D'于F．
          （1）求截面BEFD與底面ABCD所成銳二面角的大小；
          （2）求四棱錐A'-BEFD的體積．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2004•武漢模擬）（文科）在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，AC′為對角線，M、N分別為BB′，B′C′中點(diǎn)，P為線段MN中點(diǎn)．
          （1）求DP和平面ABCD所成的角的正切；
          （2）求四面體P-AC′D′的體積．
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案