Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓的上頂點(diǎn)，且滿(mǎn)足

MF

•

FB

=

2

-1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線(xiàn)l，當(dāng)直線(xiàn)l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心．若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得，F(xiàn)（c，0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b），

MF

=(c，-b)，

FB

=(a-c，0)，從而導(dǎo)出c²=1，a²=2，b²=1，由此可知橢圓C的方程．
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件，使F是三角形MPQ的垂心．設(shè)PQ直線(xiàn)y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

y=x+m x2 2 +y2=1

，3x²+4mx+2m²-2=0，再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意得，F(xiàn)（c，0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b）
∴

MF

=(c，-b)，

FB

=(a-c，0)
∴

MF

•

FB

=ac-c2=

2

-1（2分）
又e=

c

a

=

2

2

∴a=

2

c
∴

2

c2-c2=

2

-1
∴c²=1，a²=2，b²=1
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件，使F是三角形MPQ的垂心．
因?yàn)镵_MF=-1，且FM⊥l，
所以k₁=1，
所以設(shè)PQ直線(xiàn)y=x+m，
且設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂），y₂
由

y=x+m x2 2 +y2=1

消y，得3x²+4mx+2m²-2=0
△=16m²-12（2m²-2）＞0，m²＜3x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=

2m2-2

3

-

4m2

3

+m2=

m2-2

3

．（8分）
又F為△MPQ的垂心，
∴PF⊥MQ，∴

PF

•

MQ

=0
又

PF

(1-x1，-y1)，

MQ

=(x2，y2-1)
∴

PF

•

MQ

=x2+y1-x1x2-y1y2=x2+x1+m-x1x2-y1y2=-

4

3

m+m-

2m2-2

3

-

m2-2

3

=0∴-

m

3

-m2+

4

3

=0，
∴3m2+m-4=0，m=-

4

3

，m=1（10分）
經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足m²＜3（11分）
∴存在滿(mǎn)足條件直線(xiàn)l方程為：x-y+1=0，3x-3y-4=0（12分）
∵x-y+1=0過(guò)M點(diǎn) 即MP重合 不構(gòu)成三角形，
∴3x-3y-4=0滿(mǎn)足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用．