Question

（09年湖北鄂州5月模擬理）（13分）數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n∈N_＋總有a_n，S_n，成等差數(shù)列．

⑴求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且．求證：對(duì)任意x∈(1，e]和n∈N_＋，總有T_n＜2；

⑶正數(shù)數(shù)列{a_n}中，a_n＋1＝(c_n)^n＋1(n∈N_＋)．求數(shù)列{c_n}中的最大項(xiàng)．

Answer 1

解析：⑴由已知，對(duì)于n∈N_＋總有①，∴②

①－②得∴

∵a_n＞0，∴∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列

又n＝1時(shí)，，解得a₁＝1，∴a_n＝n(n∈N_＋)。                       4分

⑵證明：∵a_n＝n，則對(duì)任意和，總有          6分

∴

                                                                                                             8分

⑶解：由已知，，

，

易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞…猜想n≥2時(shí)，是單調(diào)遞減數(shù)列        10分

令，則

∴當(dāng)x≥3時(shí)，f’ (x)<0，故在內(nèi)f (x)單減                               12分

由a_n＋1＝(c_n)^n＋1知

∴n≥2時(shí)，是單減數(shù)列，即{c_n}是單減數(shù)列，又c₁<c₂

              ∴{c_n}中最大項(xiàng)為