Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 是等邊三角形， 為的中點(diǎn)，四邊形為直角梯形， .

（1）求證：平面平面；

（2）求四棱錐的體積；

（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在為中點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）由 根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可證明平面，再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）連接因?yàn)椤?/span>為等邊三角形， 為中點(diǎn)，所以．因?yàn)?/span>平面，所以，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得平面，即是棱錐高，算出底面面積，利用棱錐的體積公式可得結(jié)果；（3）棱上存在點(diǎn)，使得∥平面，取中點(diǎn)，連接由中位線(xiàn)定理及線(xiàn)面平行的判定定理可得∥平面，可得平面∥平面．再利用面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論.

試題解析：（1） 因?yàn)?/span>， ， ，

所以平面．因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面．

（2）連接．

因?yàn)椤?/span>為等邊三角形， 為中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?/span>平面，所以

因?yàn)?/span>，所以平面．

所以．

在等邊△中， ，

，

所以．

（3）棱上存在點(diǎn)，使得∥平面，此時(shí)點(diǎn)為中點(diǎn)．取中點(diǎn)，連接．因?yàn)?/span>為中點(diǎn)， 所以∥．

因?yàn)?/span>平面，所以∥平面．因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，

所以∥．因?yàn)?/span>平面，所以∥平面．

因?yàn)?/span>，所以平面∥平面．

因?yàn)?/span>平面，所以∥平面．