Question

己知等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項和為S_n，且S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列．
（I）求公比q；
（Ⅱ）若，，問數(shù)列{T_n}是否存在最大項？若存在，求出該項的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）本題先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得a₂=a₁q，a₃=a₁q²；進(jìn)而由前n項和的意義可表示出S₁=a₁，S₂=a₁+a₁q，S₃=a₁+a₁q+，再利用等差數(shù)列的意義可得2S₃=S₁+S₂，于是 2（a₁+a₁q+）=a₁+（a₁+a₁q），由此方程不難求出公比q=；
（Ⅱ）由等比數(shù)列的通項公式=，于是==，進(jìn)而可求出==，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴a₂=a₁q，．
∴S₁=a₁，S₂=a₁+a₁q，．
又∵S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列，
∴2S₃=S₁+S₂，∴2（a₁+a₁q+）=a₁+（a₁+a₁q），
∵a₁≠0，∴2（1+q+q²）=2+q，∴2q²+q=0，
又∵q≠0，∴．
（Ⅱ）∵，q=，
∴=，
∴==，
∴==，
∵2ⁿ⁺¹-2≥2，
∴T_n≤T₁=．
所以數(shù)列{T_n}的最大值為．
點評：本題要求學(xué)生熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，并進(jìn)行有關(guān)計算．同時會根據(jù)指數(shù)函數(shù)類型的單調(diào)性求最值．