Question

已知平面上一定點(diǎn)C（4，0）和一定直線為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作，垂足為Q，且.
（1）問(wèn)點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；
（2）設(shè)直線與（1）中的曲線交于不同的兩點(diǎn)A、B，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）P點(diǎn)在雙曲線上，其方程為
（2）滿足題意的k值存在，且k值為

（1）設(shè)P的坐標(biāo)為，由得
（2分）∴（（4分）
化簡(jiǎn)得  ∴P點(diǎn)在雙曲線上，其方程為（6分）
（2）設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，
由 得（7分）
，（8分）
∵AB與雙曲線交于兩點(diǎn)，∴△>0，即
解得（9分）
∵若以AB為直徑的圓過(guò)D（0，－2），則AD⊥BD，∴，
即，（10分）
∴
∴
解得，故滿足題意的k值存在，且k值為.