Question

已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，且C的焦點到其漸近線的距離為，過點E（1，0）且傾斜角為銳角的直線l交C于A、B兩點．
（I）求雙曲線C的方程；
（II）若，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由焦點（ c，0）到漸近線bx-ay=0 的距離為，
得=，b=．
∵兩條漸近線互相垂直，∴a=b=，
∴雙曲線C的方程為 x²-y²=2．
（II）設(shè)直線l y=k（x-1），A（ x₁，y₁），B （ x₂，y₂），
由 得（1-k²）y²+2ky-k²=0，∴△=4k²-4（1-k²）（-k²）＞0，
再由傾斜角為銳角知，0＜k＜且 k≠1．
y₁+y₂=，y₁•y₂=，
∵，∴（ x₁-1，y₁）=t（x₂-1，y₂），∴y₁=ty₂．
∴（1+t）y₂=，t y₂²=，消去y₂得 =t++2．
∵1＜t＜3，∴4＜＜，∴＜k²＜2． 又0＜k＜ 且 k≠1，
∴＜k＜，
故直線l斜率的取值范圍為（，）．
分析：（I）由焦點（ c，0）到漸近線bx-ay=0 的距離為，求出b，再由兩條漸近線互相垂直，求得a=b=，從而得到雙曲線C的方程．
（II） 把直線l的方程代入圓的方程，應(yīng)用判別式大于0及根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，得到 =t++2，由t的范圍求出的范圍，進而得到k的范圍．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，由t的范圍求出的范圍，進而得到k的范圍，‘是解題的關(guān)鍵和難點．