Question

已知函數(shù)f(x)=loga

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）當(dāng)x∈（r，a-2）時，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實數(shù)r與a的值．

Answer 1

分析：（1）由已知條件得f（-x）+f（x）=0對定義域中的x均成立，化簡即m²x²-1=x²-1對定義域中的x均成立，解出m，并代入題目進(jìn)行檢驗．
（2）將對數(shù)的真數(shù)進(jìn)行常數(shù)分離，先判斷真數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)底數(shù)的范圍確定整個對數(shù)式得單調(diào)性．
（3）由題意知，（r，a-2）是定義域（-∞，-1）∪（1，+∞）的子集，再分（r，a-2）?（-∞，-1）、
（r，a-2）?（1，+∞）兩種情況，分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，求得實數(shù)r與a的值．

解答：解：（1）由已知條件得f（-x）+f（x）=0對定義域中的x均成立．
所以loga

mx+1

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0，即

mx+1

-x-1

•

1-mx

x-1

=1，
即m²x²-1=x²-1對定義域中的x均成立．
所以m²=1，即m=1（舍去）或m=-1．
（2）由（1）得f(x)=loga

1+x

x-1

，
設(shè)t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

，
當(dāng)x₁＞x₂＞1時，t1-t2=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，所以t₁＜t₂．
當(dāng)a＞1時，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．所以當(dāng)a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
同理當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）因為函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
所以①：r＜a-2＜-1，0＜a＜1．
所以f（x）在（r，a-2）為增函數(shù)，要使值域為（1，+∞），則

loga 1+r r-1 =1 a-2=-1

（無解）
②：1＜r＜a-2，所以a＞3．所以f（x）在（r，a-2）為減函數(shù)，要使f（x）的值域為（1，+∞），
則

r=1 loga a-1 a-3 =1

，所以a=2+

3

，r=1．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及函數(shù)的特殊點，屬于中檔題．