Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對于定義域內(nèi)任意的，恒成立，求的取值范圍；

（3）記，若在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減（2）（3）

【解析】

(1)代入求導分析定義內(nèi)導數(shù)的正負以及原函數(shù)的單調(diào)性即可.

(2)求導函數(shù)的零點可得 再分,與三種情況得出函數(shù)的單調(diào)性進而求得的最大值與的取值范圍即可.

(3)參變分離得,再分析的單調(diào)性與值域,從而求得的取值范圍.或直接根據(jù)求導分與和三種情況討論,利用零點存在定理列式求解即可.

（1）當時, ,

的定義域為,

令得（舍負）

在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減.

（2）.

令有

當時,恒成立；

當時,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增

,；

當時,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增

,；

綜上：

（3）法一：顯然,不是的零點∴

由得 （*）

,令得

在和單調(diào)遞減,單調(diào)遞增

又時,,（*）不成立

所以只需,

故

法二：,

當時,不合題意,舍去；

當時,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

要使在區(qū)間內(nèi)有兩個零點,則需滿足

,得到；

當時,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

要使在區(qū)間內(nèi)有兩個零點,則需滿足

,得到；

綜上：