Question

已知A，B，C是直線l上的不同的三點，O是直線外一點，向量，，滿足，記y=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)表示出向量，再由A，B，C三點共線可得到關(guān)系式，整理即可得到答案．
（2）將函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）=2x+b中，整理可得，然后令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間，即可求得函數(shù)φ（x）的最小值，再根據(jù)在[0，1]上恰有兩個不同的實根結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求出答案．
解答：解：（1）
∵A，B，C三點共線，
∴∴
（2）方程f（x）=2x+b即
令，
∴
當(dāng)時，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)時，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，
∴φ（x）有極小值為=即為最小值．
又φ（0）=ln2，，又-ln2
=∴l(xiāng)n5-＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有兩個不同實根，必須使ln2．
點評：本題主要考查向量的三點共線問題和根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的問題．考查基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．