Question

（2009年）從橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F₁，又點A是橢圓與x軸正半軸的交點，點B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP（O為坐標(biāo)原點），則該橢圓的離心率為（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  2

• C．

  1

  4

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：先計算PF₁的長，再利用兩直線平行得tan∠POF₁，最后在直角三角形POF₁中，找到a、b、c間的等式，從而求出離心率

解答：解：設(shè)F₁（-c，0），將x=-c代入

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得y=±

b2

a

∴PF₁=

b2

a

，OF₁=c
∵AB∥OP，∴tan∠POF₁=tan∠BAO=

b

a

∴在直角三角形POF₁中，tan∠POF₁=

PF1

OF1

=

b2

ac

=

b

a

∴b=c，∴a=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

故選D

點評：本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓離心率的求法，將已知幾何條件轉(zhuǎn)化為橢圓特征量a、b、c間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵