Question

已知函數(shù)f(x)=lgx-(

1

2

)x，g(x)=lgx+(

1

2

)x的零點分別為x₁，x₂，則有（　　）

A．x₁x₂＜0

B．x₁x₂=1

C．x₁x₂＞1

D．0＜x₁x₂＜1

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f(x)=lgx-(

1

2

)x，g(x)=lgx+(

1

2

)x的零點分別為x₁，x₂，根據(jù)對數(shù)函數(shù)底數(shù)互為倒數(shù)時，圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)y=log

1

10

x與y=(

1

2

)x交點橫坐標x₂，進而結(jié)合指數(shù)函數(shù)y=(

1

2

)x的單調(diào)性，可判斷出交點縱坐標的大小，進而由對數(shù)的運算性質(zhì)可得答案．

解答：解：f(x)=lgx-(

1

2

)x的零點，即為函數(shù)y=lgx與y=(

1

2

)x交點橫坐標x₁，
g(x)=lgx+(

1

2

)x的零點，即為函數(shù)y=lgx與y=-(

1

2

)x交點橫坐標x₂，
即為函數(shù)y=log

1

10

x與y=(

1

2

)x交點橫坐標x₂，
∵函數(shù)y=(

1

2

)x為減函數(shù)，
則y₁＜y₂，
即lgx₁＜log

1

10

x2=-lgx₂
∴l(xiāng)gx₁+lgx₂=lgx₁x₂＜0
∴0＜x₁x₂＜1
故選D

點評：本題以函數(shù)的零點為載體考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度較大．