Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形， 平面，，,于點．

(1) 求證：；
(2) 求直線與平面所成的角的余弦值.

Answer 1

(1)答案詳見解析；（2）

試題分析：(1)要證明線線垂直，可考慮先證明直線和平面垂直，該題先證明平面，從而得到，又，故可證明平面，進而證明；（2）求直線和平面所成的角，需先找后求，同時要有必要的證明過程，該題中直線和平面所成的角不易找到，故可采取轉(zhuǎn)化法，先求點到平面的距離，再利用，求得所求角的正弦值，進而求余弦值．故求點到平面的距離成為解題關(guān)鍵，可利用等體積轉(zhuǎn)化法進行．
試題解析：(1)證明：∵ 平面，平面,∴.
∵，平面,平面,
∴平面.
∵平面
∴，                                    3分
∵, ,平面,
平面,∴平面.
∵平面,∴.                6分
（2）解：由（1）知，，又，
則是的中點,在Rt△中, 得，
在Rt△中,得,
∴.
設(shè)點到平面的距離為，由，    8分
得.解得，           10分
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，                               12分
∴.
∴直線與平面所成的角的余弦值為.     14分