Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F₂的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長(zhǎng)分別為a，b．當(dāng)ab最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可知：F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），可得⊙C的半徑為2，圓心為原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)．設(shè)圓心的坐標(biāo)為（m，n）．利用線段的垂直平行的性質(zhì)可得，解出即可得到圓的方程；
（II））由題意，可設(shè)直線l的方程為x=my+2，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線l的距離d=，再利用弦長(zhǎng)公式即可得到b=．把直線l的方程為x=my+2與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式即可得到a，進(jìn)而得到ab，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
解答：解：（I）由題意可知：F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．故⊙C的半徑為2，圓心為原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)．設(shè)圓心的坐標(biāo)為（m，n）．則，解得．
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-2）²=4；
（II）由題意，可設(shè)直線l的方程為x=my+2，則圓心到直線l的距離d=，
∴b=．
由得（5+m²）y²+4my-1=0．
設(shè)l與E的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
則，．
∴a===，
∴ab===．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
故當(dāng)時(shí)，ab最大，此時(shí)，直線l的方程為，即．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、圓的弦長(zhǎng)公式b=、直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式a=、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，需要較強(qiáng)的推理能力、計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力．．