Question

在平面直角坐標系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x²=2py（p＞0）相交于A、B兩點．
（Ⅰ）若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：解法1：（Ⅰ）依題意，點N的坐標為N（0，-p），可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯(lián)立得

x2=2py y=kx+p

消去y得x²-2pkx-2p²=0．然后由韋達定理結(jié)合三角形面積公式進行求解．
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，AC的中點為O'，l與AC為直徑的圓相交于點P，Q，PQ的中點為H，
則O'H⊥PQ，Q'點的坐標為（

x1

2

，y₁+

p

2

），由此入手能夠求出拋物線的通徑所在的直線．
解法2：（Ⅰ）依題意，點N的坐標為N（0，-p），可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯(lián)立得

x2=2py y=kx+p

消去y得x²-2pkx-2p²=0．由弦長公式得|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

4p2k2+8p2

=2p

1+k2

•

k2+2

，又由點到直線的距離公式得d=

2p

1+k2

．由此能求出△ANB面積的最小值．
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為（x-0）（x-x₁）-（y-p）（y-y₁）=0，
將直線方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，則△=

x

2 1

-4(a-p)(a-y1)=4[(a-

p

2

)y1+a(p-a)]．由此入手能夠求出拋物線的通徑所在的直線．

解答：解：法1：（Ⅰ）依題意，點N的坐標為N（0，-p），
可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯(lián)立得

x2=2py y=kx+p

，
消去y得x²-2pkx-2p²=0．
由韋達定理得x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2p²．
于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=

1

2

•2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p

(x1+x2)2-4x1x2

=p

4p2k2+8p2

=2p2

k2+2

，
∴當k=0時，(S△ABN)min=2

2

p2．
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，
AC的中點為O'，l與AC為直徑的圓相交于點P，Q，PQ的中點為H，
則O'H⊥PQ，Q'點的坐標為（x1，

y1+p

2

）．
∵|O′P|=

1

2

|AC|=

1

2

x 2 1 +(y1-p)2

=

1

2

y 2 1 +p2

，|O′H|=|a-

y1+p

2

|=

1

2

|2a-y1-p|，
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=

1

4

(

y

2 1

+p2)-

1

4

(2a-y1-p)2=(a-

p

2

)y1+a(p-a)，
∴|PQ|²=（2|PH|）²=4[(a-

p

2

)y1+a(p-a)]．
令a-

p

2

=0，得a=

p

2

，此時|PQ|=p為定值，
故滿足條件的直線l存在，其方程為y=

p

2

，
即拋物線的通徑所在的直線．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

4p2k2+8p2

=2p

1+k2

•

k2+2

，
又由點到直線的距離公式得d=

2p

1+k2

．
從而S△ABN=

1

2

?d•|AB|=

1

2

•2p

1+k2

•

k2+2

•

2p

1+k2

=2p2

k2+2

，∴當k=0時，(S△ABN)min=2

2

p2．
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為（x-0）（x-x₁）+（y-p）（y-y₁）=0，
將直線方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，
則|x₁-x₂|²=

x

2 1

-4(a-p)(a-y1)=4[(a-

p

2

)y1+a(p-a)]．
設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點為P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
則有|PQ|=|x3-x4|=

4[(a- p 2 )y1+a(p-a)]

=2

(a- p 2 )y1+a(p-a)

．
令a-

p

2

=0，得a=

p

2

，此時|PQ|=p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y=

p

2

，
即拋物線的通徑所在的直線．

點評：本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．