Question

如圖，已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，則

PF1

•

PF2

=

 

；橢圓C的離心率為

 

．

Answer 1

分析：本題考察的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，由F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，連接OQ，F(xiàn)₁P后，我們易根據(jù)平面幾何的知識(shí)，根據(jù)切線的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)得到PF₂⊥PF₁，由此易得

PF1

•

PF2

的值，并由此得到橢圓C的離心率．

解答：解：連接OQ，F(xiàn)₁P如下圖所示：
則由切線的性質(zhì)，則OQ⊥PF₂，
又由點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，O為F₁F₂的中點(diǎn)
∴OQ∥F₁P
∴PF₂⊥PF₁，
∴

PF1

•

PF2

=0
故|PF₂|=2a-2b，
且|PF₁|=2b，|F₁F₂|=2c，
則|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²
得4c²=4b²+4（a²-2ab+b²）
解得：b=

2

3

a
則c=

5

3

a
故橢圓的離心率為：

5

3

故答案為：0，

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及等量關(guān)系轉(zhuǎn)為不等關(guān)系，在與所求量有關(guān)的參量上作文章是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，還有離心率的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件獲得關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，最后化歸為a，c（或e）的關(guān)系式，利用方程求解．