Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間及極大值；

（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，，．（2）①．②見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)，再求出其導(dǎo)函數(shù)，令，解出，根據(jù)單調(diào)性和極值求法即可求解.

（2）①函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根．分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；②不妨設(shè)，由①知，且有，可得，將可化．再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證出，即可證明.

（1），

．

當(dāng)時(shí)，．

令，解得，

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)減函數(shù)，

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，，．

（2）①函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

方程有兩個(gè)不等實(shí)根．

由，顯然時(shí)方程無根，．

設(shè)，則．

令，得．

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)．

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

．．

實(shí)數(shù)的取值范圍是．

②證明：不妨設(shè)，由①知，且有

可化為．

又．

即證，

即證，即．

設(shè)，即證當(dāng)時(shí)成立．

設(shè)，

，

在上為增函數(shù)．

，即成立．

成立．