Question

已知α∈(

π

2

，π)，且sin

α

2

+cos

α

2

=

2 3

3

．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）若sin(α+β)=-

3

5

，β∈(0，

π

2

)，求sinβ的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡求出sinα，由α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cosα的值；
（2）由α與β的范圍，求出α+β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（α+β）的值，將sinβ變形為sin[（α+β）-α]，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答：解：（1）將sin

α

2

+cos

α

2

=

2 3

3

兩邊平方得：（sin

α

2

+cos

α

2

）²=sin²

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

+cos²

α

2

=1+sinα=

4

3

，
∴sinα=

1

3

，
∵α∈（

π

2

，π），
∴cosα=-

1-sin2α

=-

2 2

3

；
（2）∵α∈（

π

2

，π），β∈（0，

π

2

），
∴α+β∈（

π

2

，

3π

2

），
∵sin（α+β）=-

3

5

＜0，
∴α+β∈（π，

3π

2

），
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4

5

，
則sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=-

3

5

×（-

2 2

3

）-（-

4

5

）×

1

3

=

2 2

5

+

4

15

=

6 2 +4

15

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．