Question

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在R上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在區(qū)間[0，7]上，只有兩個(gè)零點(diǎn)1，3．

(1)試判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性；

(2)試求方程f(x)＝0在區(qū)間[－2005，2005]上的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(2－x)＝f(2＋x)，得f(－1)＝f(5)．又f(5)≠0，而f(1)＝0，所以f(1)≠f(－1)，所以函數(shù)y＝f(x)不是偶函數(shù)．因?yàn)閥＝f(x)在[0，7]上，只有兩個(gè)零點(diǎn)1，3，所以f(0)≠0，所以函數(shù)y＝f(x)不是奇函數(shù)．故函數(shù)y＝f(x)是非奇非偶函數(shù)． 　　(2) 　　因?yàn)閒(3)＝f(1)＝0， 　　所以f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0，即y＝f(x)在[0，10]，[－10，0)上各有2個(gè)根，所以y＝f(x)在[0，2000]，[－2000，0)上各有400個(gè)根，而在[2000，2005]上有2個(gè)根，在[－2005，－2000)上沒(méi)有根，所以f(x)＝0在區(qū)間[－2005，2005]上有802個(gè)根．