Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點F₁、F₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點為M，．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點M的直線l'與橢圓交于C、D兩點，若，求直線l'的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓方程為 ，半焦距為c，由題意能夠?qū)С鯽=2，b=，c=1，故橢圓方程為 ．
（II）設(shè)所求l'的方程為y=k（x+4），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量垂直的公式即可求得k值，從而解決問題．
解答：解：（I）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為c

（II）點M的坐標(biāo)為M（-4，0），設(shè)C、D兩點坐標(biāo)分別為C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），l'的方程為y=k（x+4），代入橢圓方程整理，得

后三個式子得
解得，代入第一個中檢驗有△＞0，∴，
所以所求直線l’的主程為
點評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程的應(yīng)用、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．