Question

（2012•廣州一模）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=

6

，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點(diǎn)D，AD=1，CD=3，PD=2．
（1）求三棱錐P-ABC的體積；
（2）證明△PBC為直角三角形．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)，證明PD⊥平面ABC，再計(jì)算△ABC的面積，即可求三棱錐P-ABC的體積；
（2）證法1：計(jì)算出BC，PB，PC，利用BC²+PB²=PC²，可得結(jié)論；
證法2：利用線面垂直的判定證明BC⊥平面PBD，從而B(niǎo)C⊥PB．

解答：（1）解：因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面PAC，PD⊥AC，所以PD⊥平面ABC．…（2分）
記AC邊上的中點(diǎn)為E，
在△ABC中，因?yàn)锳B=BC，所以BE⊥AC．
因?yàn)?span id="18x7inh" class="MathJye">AB=BC=

6

，AC=4，
所以BE=

BC2-CE2

=

( 6 )2-22

=

2

．…（4分）
所以△ABC的面積S△ABC=

1

2

×AC×BE=2

2

．…（5分）
因?yàn)镻D=2，所以三棱錐P-ABC的體積VP-ABC=

1

3

×S△ABC×PD=

1

3

×2

2

×2=

4 2

3

．…（7分）
（2）證法1：因?yàn)镻D⊥AC，所以△PCD為直角三角形．
因?yàn)镻D=2，CD=3，所以PC=

PD2+CD2

=

22+32

=

13

．…（9分）
連接BD，在Rt△BDE中，因?yàn)椤螧ED=90°，BE=

2

，DE=1，
所以BD=

BE2+DE2

=

( 2 )2+12

=

3

．…（10分）
由（1）知PD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，所以PD⊥BD．
在Rt△PBD中，因?yàn)椤螾DB=90°，PD=2，BD=

3

，
所以PB=

PD2+BD2

=

22+( 3 )2

=

7

．…（12分）
在△PBC中，因?yàn)?span id="z7fr2ww" class="MathJye">BC=

6

，PB=

7

，PC=

13

，
所以BC²+PB²=PC²．…（13分）
所以△PBC為直角三角形．…（14分）
證法2：連接BD，在Rt△BDE中，因?yàn)椤螧ED=90°，BE=

2

，DE=1，
所以BD=

BE2+DE2

=

( 2 )2+12

=

3

．…（8分）
在△BCD中，CD=3，BC=

6

，BD=

3

，
所以BC²+BD²=CD²，所以BC⊥BD．…（10分）
由（1）知PD⊥平面ABC，
因?yàn)锽C?平面ABC，所以BC⊥PD．
因?yàn)锽D∩PD=D，所以BC⊥平面PBD．…（12分）
因?yàn)镻B?平面PBD，所以BC⊥PB．
所以△PBC為直角三角形．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．