Question

【題目】已知函數(shù) （0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m∈R）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：1是g（x）的唯一極小值點(diǎn)；
（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），滿足f（a）=g（b），求m的取值范圍．（只需寫出結(jié)論）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)? = ，

令f'（x）=0，得

因?yàn)?＜x＜π，所以

當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	↗	極大值	↘

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為

（Ⅱ）證明：∵g（x）=（x﹣1）lnx+m∴ （x＞0），

設(shè) ，則

故g'（x）在（0，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)，

又∵g'（1）=0，故方程g'（x）=0只有唯一實(shí)根x=1

當(dāng)x變化時，g'（x），g（x）的變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

故g（x）在x=1時取得極小值g（1）=m，即1是g（x）的唯一極小值點(diǎn)．

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）根據(jù)f（x）0時f（x）單調(diào)遞增，f（x）0時f（x）單調(diào)遞減可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x），導(dǎo)論h（x）的單調(diào)性并求出h（x）的零點(diǎn)；（Ⅲ）使g（x）minf（x）max即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．