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        1. 加試題:已知曲線,過P1(1,0)作y軸的平行線交曲線C于Q1,過Q1作曲線C的切線與x軸交于P2,過P2作與y軸平行的直線交曲線C于Q2,照此下去,得到點列P1,P2,…,和Q1,Q2,…,設(shè),
          (1)求數(shù)列{an}的通項公式;
          (2)求證:b1+b2+…+bn>2n-2-n;
          (3)求證:曲線C與它在點Qn處的切線,以及直線Pn+1Qn+1所圍成的平面圖形的面積與正整數(shù)n的值無關(guān).
          【答案】分析:(1)本題由導數(shù)可求出過點Qn的直線方程,即直線QnPn+1的方程,進而可以求出點Qn與點Qn+1之間橫坐標的關(guān)系xn+1=2xn,從而可求出xn的通項公式,由由于數(shù)列an與yn相等,故將xn通項公式代入函數(shù)解析式即可求解.
          (2)借助(1)中的xn和yn與an的等式關(guān)系,可知Qn和Qn+1坐標,由此求出bn的通項公式,并借助不等式a2+b2≥2ab的推導公式2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2的變式≥a+b進行放縮后,由等比數(shù)列求和公式即可證明其結(jié)論.
          (3)由圖形可知,所求面積的圖形為不規(guī)則的曲邊三角形,故可結(jié)合定積分的幾何意義來借助定積分計算公式進行面積的計算.
          解答:解:(1)∵
          設(shè)Qn(xn,yn),則直線QnPn+1的方程為
          令y=0,得xn+1=xn+xn2yn,∵xnyn=1,∴xn+1=2xn,
          則數(shù)列{xn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,于是xn=2n-1
          從而
          (2)∵,
          =
          =
          =
          利用2(a2+b2)≥(a+b)2(a>0,b>0),
          當且僅當a=b時取等號,得
          于是
          =
          =
          (3)曲邊三角形QnPn+1Qn+1是由曲線與直線Pn+1Qn+1、切線QnPn+1所圍成的圖形.于是
          ==
          ==
          點評:本題主要考查學生對數(shù)列,導數(shù),定積分,不等式證明的綜合應用的能力,綜合能力要求較強,尤其是第二小問的證明,學生易在放縮的這步出現(xiàn)解題困難.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          加試題:已知曲線C:y=
          1
          x
          (x>0)
          ,過P1(1,0)作y軸的平行線交曲線C于Q1,過Q1作曲線C的切線與x軸交于P2,過P2作與y軸平行的直線交曲線C于Q2,照此下去,得到點列P1,P2,…,和Q1,Q2,…,設(shè)|
          PnQn
          |=an
          ,
          2
          |
          QnQn+1
          |=bn(n∈N*)

          (1)求數(shù)列{an}的通項公式;
          (2)求證:b1+b2+…+bn>2n-2-n;
          (3)求證:曲線C與它在點Qn處的切線,以及直線Pn+1Qn+1所圍成的平面圖形的面積與正整數(shù)n的值無關(guān).

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