Question

已知是等差數(shù)列，首項，前項和為.令,的前項和.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項和為，且，.
（1）求數(shù)列、的通項公式；
（2）證明：.

Answer 1

(1) ，；(2)見解析.

試題分析：(1)首先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知建立的方程，求得，寫出等差數(shù)列的通項公式；進(jìn)一步確定等比數(shù)列的公比，求得等比數(shù)列的通項公式.
(2)求得，將不等式加以轉(zhuǎn)化成，
即證：.注意到這是與自然數(shù)有關(guān)的不等式證明問題，故考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.
很明顯時，，因此用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，.
試題解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為
所以
則
則
解得，所以                    4分
所以，
所以                              6分
(2)由(1)知，
要證，
只需證
即證：                             8分
當(dāng)時，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，
（1）當(dāng)時，左邊，右邊，左右，不等式成立
（2）假設(shè)，
則時，
時不等式成立
根據(jù)（1）（2）可知：當(dāng)時，
綜上可知：對于成立
所以                      12分