Question

在R上定義運(yùn)算△：x△y=x（1-y）若不等式（x-a）△（x+a）＜1，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

，函數(shù)y=1-4x-2x²在（1，+∞）上的值域是

 

．

Answer 1

分析：（1）利用定義的運(yùn)算建立函數(shù)關(guān)系式，解決恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖象恒在x軸上方，解△＜0即可．
（2）利用配方法求區(qū)間內(nèi)的最值，判定開口和對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，研究出單調(diào)性就可求出值域．

解答：解：（1）根據(jù)運(yùn)算法則得（x-a）△（x+a）=（x-a）（1-x-a）＜1
化簡(jiǎn)得x²-x-a²+a+1＞0在R上恒成立，即△＜0，解得a∈(-

1

2

，

3

2

)
（2）y=1-4x-2x²=-2（x+1）²+3在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)
∴當(dāng)x=1時(shí)y=-5，∴y=1-4x-2x²在（1，+∞）的值域是（-∞，-5）
故答案為：(-

1

2

，

3

2

)，（-∞，-5）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及函數(shù)的值域，題目比較新穎，定義了新的運(yùn)算，屬于中檔題．