Question

下列命題中，真命題是（　�。�

• A．若sinA=

  1

  2

  ，則A=30°
• B．若m＞0，則x²+x+m=0有實(shí)根
• C．存在實(shí)數(shù)a，b∈（0，+∞），當(dāng)a+b=1時(shí)，

  1

  a

  +

  1

  b

  =

  7

  2

• D．x+y≠2012是x≠1006或y≠1006的充分不必要條件

Answer 1

分析：A．根據(jù)終邊相同的角及互補(bǔ)角的正弦值相等，可知A不正確；
B．根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是△≥0，即可判斷出是否正確；
C．根據(jù)條件及基本不等式即可求出

1

a

+

1

b

的最小值，進(jìn)而可判斷出是否正確；
D．根據(jù)命題“若x=1006且y=1006，則x+y=2012”正確，而此命題的逆否命題是“若x+y≠2012，則x≠1006或y≠1006”，即可判斷出是否正確．

解答：解：A．若sinA=

1

2

，則A=kπ+(-1)k

π

6

，（k∈Z），故A．不正確；
B．∵△=1-4m≥0，即m≤

1

4

時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根，故B不正確；
C．∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴

1

a

+

1

b

=(a+b)(

1

a

+

1

b

)=1+1+

b

a

+

a

b

≥2+2

b a × a b

=4，
即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

2

時(shí)取等號(hào)，也即

1

a

+

1

b

的最小值為4，不可能為

7

2

，故C不正確；
D．命題“若x=1006且y=1006，則x+y=2012”正確，其逆命題“若x+y=2012，則x=1006，y=1006”不正確；
由此可知此命題的逆否命題正確，而否命題不正確．
故x+y≠2012是x≠0或y≠0的充分不必要條件．即D．正確．
綜上可知：真命題是D．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：充分理解終邊相同的角及互補(bǔ)角的正弦值相等、一元二次方程有實(shí)數(shù)根的充要條件、基本不等式的性質(zhì)、充要條件的意義是解題的關(guān)鍵．