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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知下列四個命題:
          ①函數f(x)=2x滿足:對任意x1,x2∈R,有f(
          x1+x2
          2
          )<
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)];
          ②函數f(x)=log2(x+
          1+x2
          )
          ,g(x)=1+
          2
          2x-1
          均是奇函數;
          ③若函數f(x)的圖象關于點(1,0)成中心對稱圖形,且滿足f(4-x)=f(x),那么f(2)=f(2012);
          ④設x1,x2是關于x的方程|logax|=k(a>0,a≠1)的兩根,則x1x2=1.
          其中正確命題的序號是
          ①②④
          ①②④
          分析:①由f(x)=2x,對任意x1,x2∈R,作差比較f(
          x1+x2
          2
          )、
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]的大;
          ②由奇函數的定義判定f(x)、g(x)的奇偶性;
          ③由f(x)的圖象關于點(1,0)成中心對稱知,f(x+1)是奇函數,又f(4-x)=f(x)知,f(x)的圖象關于x=2對稱;得f(x)以4為周期,從而判定f(22)≠f(2012);
          ④解方程|logax|=k(a>0,a≠1),得x1,x2,計算x1x2;
          解答:解:①∵函數f(x)=2x,∴對任意x1,x2∈R,有f(
          x1+x2
          2
          )-
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]=2
          x1+x2
          2
          -
          1
          2
          2x1+2x2);
          1
          2
          2x1+2x2)≥
          1
          2
          ×2
          2x12x2
          =2
          x1+x2
          2
          ,當且僅當x1=x2時取“=”,∴f(
          x1+x2
          2
          )<
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]成立;∴命題正確;
          ②∵函數f(x)=log2(x+
          1+x2
          )
          (x∈R),∴f(-x)=log2(-x+
          1+(-x)2
          )=log2
          1
          x+
          1+x2
          =-log2(x+
          1+x2
          )=-f(x),∴f(x)是奇函數;
          ∵g(x)=1+
          2
          2x-1
          =
          2x+1
          2x-1
          (x∈R),∴g(-x)=
          2-x+1
          2-x-1
          =
          2x+1
          1-2x
          =-g(x),∴g(x)是奇函數;∴命題正確;
          ③∵函數f(x)的圖象關于點(1,0)成中心對稱圖形,∴f(x+1)是奇函數,∴f(x+1)=-f(-x+1),又f(4-x)=f(x),∴f(x)的圖象關于x=2對稱;∴f(x)是以4為周期的函數,f(2)≠f(2012);命題錯誤;
          ④∵|logax|=k(a>0,a≠1),∴l(xiāng)ogax=±k,∴x1=ak,x2=a-k,則x1x2=ak•a-k=a0=1,∴命題正確;
          所以,正確命題的序號是:①②④
          故答案為:①②④
          點評:本題通過命題真假的判定,考查了函數單調的性質與圖象的變換以及方程的知識,是容易出錯的題目.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數學 來源: 題型:

          7、已知下列四個命題:①“若xy=0,則x=0且y=0”的逆否命題;
          ②“正方形是菱形”的否命題;
          ③“若ac2>bc2,則a>b”的逆命題;
          ④若“m>2,則不等式x2-2x+m>0的解集為R”.
          其中真命題的個數為(  )

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知下列四個命題:
          ①若函數y=f(x)在x°處的導數f'(x°)=0,則它在x=x°處有極值;
          ②不論m為何值,直線y=mx+1均與曲線
          x2
          4
          +
          y2
          b2
          =1
          有公共點,則b≥1;
          ③設直線l1、l2的傾斜角分別為α、β,且1+tanβ-tanα+tanαtanβ=0,則l1和l2的夾角為45°;
          ④若命題“存在x∈R,使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命題,則|a+1|>2;
          以上四個命題正確的是
           
          (填入相應序號).

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知下列四個命題:
          (1)已知扇形的面積為24π,弧長為8π,則該扇形的圓心角為
          3
          ;
          (2)若θ是第二象限角,則
          cos
          θ
          2
          sin
          θ
          2
          <0;
          (3)在平面直角坐標系中,角α的終邊在直線3x+4y=0上,則tanα=-
          3
          4
          ;
          (4)滿足sinθ>
          1
          2
          的角θ取值范圍是(
          π
          6
          +2kπ,
          6
          +2kπ),(k∈Z)
          其中正確命題的序號為
          (1),(3),(4).
          (1),(3),(4).

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知下列四個命題:
          ①若tanθ=2,則sin2θ=
          4
          5

          ②函數f(x)=lg(x+
          1+x2
          )
          是奇函數;
          ③“a>b”是“2a>2b”的充分不必要條件;
          ④在△ABC中,若sinAcosB=sinC,則△ABC中是直角三角形.
          其中所有真命題的序號是
          ①②④
          ①②④

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