Question

已知函數(shù)（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)y=|f（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，試求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，求證：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足，并確定這樣的x₀的個數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，∴1+a=0，解得a=-1．
∴f（x）=e^x-e^-x，經(jīng)驗證函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)．
故a=-1適合題意．
（2）a=0時，y=e^x在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，適合題意；
當a≠0時，令t=e^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，e]．且t=e^x單調(diào)遞增，故在t∈[1，e]時遞增．
當a＞0時，函數(shù)y=在t∈[1，e]時單調(diào)遞增，得，∴0＜a≤1．
當a＜0時，在t∈[1，e]時單調(diào)遞增恒成立，故?t∈[1，e]，．
∴-1≤a＜0．
綜上可知：-1≤a≤1．
（3）∵f（x）+f^′（x）==2e^x，∴φ（x）=（x²-3x+3）e^x，∴=x²-x．
要證明：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足．
等價于證明：對任意的t＞-2，方程在區(qū)間（-2，t）內(nèi)有實數(shù)解．
令g（x）=，
則g（-2）=6-=-，g（t）=．
所以①當t＞4，或-2＜t＜1時，g（-2）g（t）＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）內(nèi)有解，且只有一解．
②當1＜t＜4時，g（-2）＞0，且g（t）＞0，但g（0）=＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）內(nèi)有解，且由兩解．
③當t=1時，有且只有一個解x=0；
當t=4時，有且只有一個解x=3．
綜上所述：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足．
且當t≥4或-2＜≤1時，有唯一的x₀適合題意；
當1＜t＜4時，有兩個不同的x₀適合題意．
分析：（1）利用f（0）=0即可求出a的值．
（2）通過對a分類討論和利用單調(diào)增函數(shù)的定義即可求出a的取值范圍．
（3）已知問題：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足，等價于證明：對任意的t＞-2，方程在區(qū)間（-2，t）內(nèi)有實數(shù)解，通過對t分類討論即可．
點評：充分理解函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．