Question

．本小題滿分15分）
如圖，已知橢圓E：，焦點(diǎn)為、，雙曲線G：的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線、與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形的周長等于，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為.

（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線、的斜率分別為和，探求
和的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)，使得恒成立？
若存在，試求出的值；若不存在， 請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）由題意知，橢圓中 
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為              …………2分
又頂點(diǎn)與焦點(diǎn)重合，所以；   
所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。   …………4分 
（2）設(shè)點(diǎn)            
在雙曲線上，所以          所以  …………8分
（3）設(shè)直線AB：    
由方程組得    ………10分
設(shè)
所以        
由弦長公式   
同理       ………12分
由代入得        ………13分
    
所以存在使得成立。   ………15分

略