Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=

2

a．
（Ⅰ）求證：平面SAB⊥平面SAD；
（Ⅱ）設(shè)SB的中點(diǎn)為M，當(dāng)

CD

AB

為何值時(shí)，能使DM⊥MC？請(qǐng)給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由∠A=90°?AB⊥AD再利用SD⊥平面ABCD?SD⊥AB?AB⊥平面SAD?結(jié)論成立．
（Ⅱ）由題中條件可推得DM⊥SB．當(dāng)

CD

AB

=2時(shí)，又可利用其推得BC⊥平面SBD?DM⊥BC?DM⊥平面SBC?DM⊥MC．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵∠A=90°，
∴AB⊥AD．
又SD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴SD⊥AB．（2分）
∴AB⊥平面SAD．（4分）
又AB?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面SAD（7分）
（Ⅱ）當(dāng)

CD

AB

=2時(shí)，能使DM⊥MC．（9分）
連接BD，∵∠A=90°，AB=AD=a
∴BD=

2

a∴SD=BD，∠BDA=45°
又M為SB中點(diǎn)，
∴DM⊥SB①（8分）
設(shè)CD的中點(diǎn)為P，連接BP，則DP∥AB，且DP=AB
∴BP∥AD，
∴BP⊥CD∴BD=BC
又∠BDC=90°-∠BDA=45°
∴∠CBD=90°即BC⊥BD
又BC⊥SD∴BC⊥平面SBD
∴DM⊥BC②（12分）
由①②知DM⊥平面SBC
∴DM⊥MC
即當(dāng)

CD

AB

=2時(shí)，能使DM⊥MC．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)．在證明面面垂直時(shí)，其常用方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直