Question

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，f（﹣1）=﹣2．
（1）求f（0）；
（2）求證f（x）為奇函數(shù)；
（3）f（x）在[﹣2，1]上的值域．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=﹣x，得f（﹣x+x）=f（x）+f（﹣x）
即f（0）=f（x）+f（﹣x）
∴f（x）+f（﹣x）=0，
即f（﹣x）=﹣f（x）
因此f（x）為R上的奇函數(shù)，
（3）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂﹣x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）＞0
∴f（x₂﹣x₁）＞0
又∵f（x₂）=f[（x₂﹣x₁）+x₁]=f（x₂﹣x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）﹣f（x₁）＞0，可得f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）為奇函數(shù)
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，f（﹣2）=2f（﹣1）=﹣4
∵f（x）為R上的增函數(shù)，
∴當(dāng)﹣2≤x≤1時，f（﹣2）≤f（x）≤f（1），
即函數(shù)在[﹣2，1]上的值域為[﹣4，2]