Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)y=f(x)在(0，2)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2．求k的取值范圍及

1

x1

+

1

x2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)k=2時(shí)，方程是含有絕對(duì)值的方程，對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的值進(jìn)行分類討論去掉絕對(duì)值后解之．
（2）先將含有絕對(duì)值的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次函數(shù)和二元一次函數(shù)的分段函數(shù)的形式，再利用一元一次函數(shù)與二元
一次函數(shù)的單調(diào)性加以解決．

解答：解：（1）若k=2，則函數(shù)y=f（x）=|x²-1|+x² +2x，①當(dāng)x²-1≥0時(shí)，即x≥1或x≤-1時(shí)，方程化為2x²+2x-1=0，
解得x=

-1± 3

2

，因?yàn)?＜

-1+ 3

2

＜1，故舍去，所以x=

-1- 3

2

．
②當(dāng)x²-1＜0時(shí)，-1＜x＜1時(shí)，方程化為2x+1=0，解得x=-

1

2

．
由①②得當(dāng)k=2時(shí)，方程f（x）=0的解所以x=

-1- 3

2

，或x=-

1

2

．
（II）解：不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，因?yàn)閒（x）=

2x2+kx-1 ， |x|＞1 kx+1 ，  |x|≤1

，
所以f（x）在（0，1]是單調(diào)函數(shù)，故f（x）=0在（0，1]上至多一個(gè)解．
若 1＜x₁＜x₂＜2，則x₁x₂=-

1

2

＜0，故不符題意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由f（x₁）=0得k=-

1

x1

，所以k≤-1． 由f（x₂）=0得，k=

1

x2

-2x₂，所以，-

7

2

＜k＜-1，
故當(dāng)-

7

2

＜k＜-1時(shí)，方程f（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)解，故所求的k的范圍是（-

7

2

，-1）．
由于當(dāng)0＜x₁≤1＜x₂＜2時(shí)，k=-

1

x1

，2x₂²+kx₂-1=0，
消去k得，2x₁x₂²-x₁-x₂=0，∴x₁+x₂=2x₁x₂²，∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1• x2

=2x₂．
∵1＜x₂＜2，∴2＜2x₂＜4，∴2＜

1

x1

+

1

x2

＜4，故

1

x1

+

1

x2

的取值范圍是（2，4）．
綜上可得，k的范圍是（-

7

2

，-1），

1

x1

+

1

x2

的取值范圍是（2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的高考考點(diǎn)：函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；易錯(cuò)點(diǎn)：解析問題的能力較差，分類討論的問題考慮不全面．備考提示：本題還考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、分類討論等思想方法解析和解決問題的能力，屬于中檔題．