Question

13、已知定義在區(qū)間（0，+∞）的非負(fù)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x），其滿足xf'（x）+f（x）＜0，則在0＜a＜b時，下列結(jié)論一定正確的是

（2）（3）

．
（1）af'（a）＜bf'（b）（2）af（a）＞bf（b）（3）bf（a）＞af（b）（4）bf'（a）＞af'（b）

Answer 1

分析：（2）抽象出函數(shù)g（x）=xf（x），根據(jù)題意可得g′（x）＜0故g（x）在在區(qū)間（0，+∞）是減函數(shù)．所以af（a）＞bf（b）．
（3）因?yàn)閒（x）＞0，x＞0且xf'（x）+f（x）＜0，所以可得f′（x）＜0．所以f（x）是減函數(shù)．進(jìn)而結(jié)合不等式的性質(zhì)得到bf（a）＞af（b）．
（1）（4）我們只能判斷f'（a）＜0，f'（b）＜0而并不能判斷f'（a）與f'（b）的大小，所以af'（a）與bf'（b）、bf'（a）與af'（b）的大小不能判斷．

解答：解：設(shè)g（x）=xf（x）所以g′（x）=xf'（x）+f（x）＜0，所以g（x）在在區(qū)間（0，+∞）是減函數(shù)．因?yàn)?＜a＜b所以af（a）＞bf（b）．故（2）正確．
因?yàn)閒（x）是定義在區(qū)間（0，+∞）的非負(fù)函數(shù)，并且xf'（x）+f（x）＜0所以f′（x）＜0．所以f（x）是定義在區(qū)間（0，+∞）的減函數(shù)．因?yàn)?＜a＜b所以f（a）＞f（b），所以bf（a）＞af（b）．故（3）正確．
對于（1）（4）我們只知道0＜a＜b且f'（a）＜0，f'（b）＜0而并不能判斷f'（a）與f'（b）的大小，所以af'（a）與bf'（b）、bf'（a）與af'（b）的大小不能判斷．故（1）（4）不正確．
故答案為（2）（3）．

點(diǎn)評：解決此題的根據(jù)判斷出xf（x）的導(dǎo)數(shù)即xf'（x）+f（x），由題知此導(dǎo)數(shù)小于0，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系可得函數(shù)xf（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．再結(jié)合函數(shù)f（x）是非負(fù)函數(shù)進(jìn)一步可得f（x）是減函數(shù)，即可得到答案．