Question

在本次安徽“6+2”聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考中數(shù)學(xué)科試卷共有10道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的，考生答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分．某考生每道題都給出一個(gè)答案，且已確定其中有7道題的答案是正確的，而其余題中有1道題可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷出一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不了解題意只能亂猜．試求該考生：
（1）選擇題得50分的概率；
（2）選擇題所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意總共10道題，有這10 題的特點(diǎn)為已確定其中有7道題的答案是正確的，而其余題中有1道題可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷出一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不了解題意只能亂猜．，所以在其余的3道題中，有1道題答對(duì)的概率為

1

2

，有1道題答對(duì)的概率為

1

3

，還有1道答對(duì)的概率為

1

4

，所以利用相互獨(dú)立事件的概率公式即可求解；
（2）由題意該考生得分的范圍為{35，40，45，50}，而每一個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)一個(gè)事件，事件之間為獨(dú)立事件，互斥事件，利用概率公式即可得到得分的分布列，代入期望公式即可．

解答：解（1）得分為50，10道題必須全做對(duì)．在其余的3道題中，有1道題答對(duì)的概率為

1

2

，有1道題答對(duì)的概率為

1

3

，還有1道答對(duì)的概率為

1

4

，
所以得分為50分的概率為：P=

1

2

•

1

3

•

1

4

=

1

24

．
（2）依題意，該考生得分的范圍為{35，40，45，50}．
得分為35分表示只做對(duì)了7道題，其余各題都做錯(cuò)，
所以概率為P1=

1

2

•

2

3

•

3

4

=

6

24

=

1

4

，
得分為40分的概率為：P2=

1

2

•

2

3

•

3

4

+

1

2

•

1

3

•

3

4

+

1

2

•

2

3

•

1

4

=

11

24

．
同理求得得分為45分的概率為：P3=

6

24

．，
得分為50分的概率為：P4=

1

24

．
所以得分ξ的分布列為：

ξ	35	40	45	50
P	1 4	11 24	6 24	1 24

數(shù)學(xué)期望Eξ=35×

1

4

+40×

11

24

+45×

6

24

+50×

1

24

=

485

12

點(diǎn)評(píng)：此題考查了獨(dú)立事件，互斥事件的概率公式，隨機(jī)變量的分布列及其期望，重點(diǎn)考查了學(xué)生對(duì)于題意的正確理解及準(zhǔn)確的計(jì)算能力．