Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=

1

2

．
（1）當(dāng)n∈N^*時，求f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)a_n=n•f（n），n∈N^*，求證a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2；
（3）設(shè)b_n=（9-n）

f(n+1)

f(n)

，n∈N^*，S_n為b_n的前n項和，當(dāng)S_n最大時，求n的值．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y）對任意的實數(shù)x，y都成立，故可令x=n，y=1，再由f（1）=

1

2

得到f（n）的表達(dá)式；
（2）由（1）知，a_n=n•f（n）=n(

1

2

)n，故可用錯位相減法求出a₁+a₂+a₃+…+a_n的表達(dá)式，即可得證；
（3）由（1）和b_n=（9-n）

f(n+1)

f(n)

，n∈N^*可求b_n的表達(dá)式，進而求出S_n，由于數(shù)列為一種特殊函數(shù)，故可利用函數(shù)單調(diào)性得到S_n最大時的n值．

解答：解：（1）令x=n．y=1，得到f（n+1）=f（n）•f（1）=

1

2

f（n），
所以{f（n）}是首項為

1

2

、公比為

1

2

的等比數(shù)列，即f（n）=(

1

2

)n；
（2）∵an=nf(n)=n•(

1

2

)n，∴Sn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n，
∴

1

2

Sn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3 +…+n×(

1

2

)n+1，
兩式相減得：∴

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3 +…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1，
整理得∴ Sn=

1

2

-(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n＜2．
（3）∵f（n）=(

1

2

)n，而b_n=（9-n）

f(n+1)

f(n)

，n∈N^*，則b_n=

9-n

2

，
當(dāng)n≤8時，b_n＞0；當(dāng)n=9時，b_n=0；當(dāng)n＞9時，b_n＜0；
∴n=8或9時，S_n取到最大值．

點評：本題主要考查數(shù)列求和的錯位相減法法、等比數(shù)列的前n項和公式，著重考查考生的運算能力．