Question

（08年龍巖一中沖刺文）（14分）

如圖，在矩形中，，，、分別是邊、的中點(diǎn)，在所在直線上移動(dòng)，的垂直平分線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足關(guān)系式．

（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作互相垂直的直線、，分別交曲線于、和、，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

解析：（1）以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn) 不重合時(shí)，，∴四邊形為平行四邊形，是的垂直平分線，，

因此平行四邊形為菱形，即在直線上，∥，     ……………2分
又，于是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線．由于點(diǎn)到直線的距離等于，于是，

從而點(diǎn)的軌跡方程為                            ……………4分

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，、重合于的中點(diǎn)

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程是                              ……………6分

 

（2）依題意，直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為， 

由得的方程為，將代入，

化簡(jiǎn)得                                      ……………………8分

設(shè)  則

    …………10分

同理可得                                    …………………11分

∴四邊形的面積

當(dāng)且僅當(dāng)  即時(shí)，

故四邊形面積的最小值是                           …………………14分