Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,對(duì)一切n∈N^*,點(diǎn)(n,S_n)在函數(shù)f(x)=x²+x的圖象上.

(1)求a_n的表達(dá)式.

(2)將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(a₁),(a₂,a₃),(a₄,a₅,a₆),(a₇,a₈,a₉,a₁₀);(a₁₁),(a ₁₂,a₁₃),(a₁₄,a₁₅,a₁₆),(a₁₇,a₁₈,a₁₉,a₂₀);(a₂₁),…,分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n},求b₅+b₁₀₀的值.

(3)設(shè)A_n為數(shù)列{}的前n項(xiàng)積,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式A_n＜a對(duì)一切n∈N^*都成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)(n,S_n)在函數(shù)f(x)=x²+x的圖象上,所以S_n=n²+n.

當(dāng)n≥2時(shí),a_n=S_n-S_n-1=n²+n-［(n-1)²+(n-1)］=2n.

當(dāng)n=1時(shí),a₁=S₁=2,滿足a_n=2n.

所以a_n=2n(n∈N^*).

(2)因?yàn)閍_n=2n(n∈N^*),所以數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),….將每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào),故b₁₀₀是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和.

    由分組規(guī)律知,由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列,且公差為20.

    同理,由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列,且公差均為20.故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列,且公差為80.注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68,所以b₁₀₀=68+24×80=1 988.

又b₅=22,所以b₅+b₁₀₀=2 010.

(3)因?yàn)?SUB>=1,

故A_n=(1)(1)·…·(1),

所以A_n=(1)(1)·…·(1).

又A_n＜a對(duì)一切n∈N^*都成立,即

(1)(1)·…·(1)2n+1＜a對(duì)一切n∈N^*都成立.

設(shè)g(n)=(1)(1)·…·(1)2n+1,則只需［g(n)］_max＜a即可.

由于=(1)·=·=＜1,

所以g(n+1)＜g(n),故g(n)單調(diào)遞減.

于是［g(n)］_max=g(1)=.

令＜a,即＞0,解得＜a＜0或a＞.

綜上所述,使得所給不等式對(duì)一切n∈N^*都成立的實(shí)數(shù)a存在,a的取值范圍是(,0)∪(,+∞).