Question

【題目】平面內與兩定點，連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點的軌跡，加上、兩點所成的曲線可以是圓、橢圓或雙曲線，給出以下四個結論：①當時，曲線是一個圓；②當時，曲線的離心率為；③當時，曲線的漸近線方程為；④當曲線的焦點坐標分別為和時，的范圍是.其中正確的結論序號為_______.

Answer 1

【答案】①③

【解析】

設出動點的坐標,根據(jù)斜率之積為可求得動點的軌跡方程.依次代入的值可判斷①②③;討論當分別取和時焦點坐標,求得都為和,因而可判斷④.

設動點

當時,

即,化簡可得

又因為,滿足

所以動點的軌跡方程為

當時,曲線的方程為,為圓心在原點,半徑為的圓,所以①正確;

當時,曲線的方程為,可化為,為焦點在軸上的橢圓,所以,則離心率為,所以②錯誤;

當時,曲線的方程為,可化為,為焦點在軸上的雙曲線,所以漸近線方程為,所以③正確;

當時,曲線的方程可化為,表示焦點在軸上的橢圓,則,則焦點坐標為和.

當時,曲線的方程可化為,表示焦點在軸上的雙曲線,則,則焦點坐標為和.由以上可知,當焦點坐標為和時,的取值范圍為,所以④錯誤.

綜上可知,正確的序號有①③

故答案為: ①③