已知函數(shù)
，以點
為切點作函數(shù)圖像的切線
，直線
與函數(shù)
圖像及切線
分別相交于
，記
．
（1）求切線的方程及數(shù)列
的通項；
（2）設(shè)數(shù)列
的前
項和為
，求證：
．
（1）切線的方程為
，數(shù)列的通項公式為
；（2）詳見試題解析．
解析試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先對函數(shù)
求導(dǎo)，求導(dǎo)函數(shù)
在
處的函數(shù)值，即得切線的斜率，最后由直線的點斜式方程即可求得切線的方程，進一步結(jié)合已知條件可得的坐標，由兩點間的距離公式可得數(shù)列的通項；（2）首先寫出數(shù)列的前項和的表達式，根據(jù)數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)特征選擇裂項相消法求和，進而可證明不等式．
試題解析：（1）對求導(dǎo)，得
，則切線方程為：
，即
，易知
，
，
由
知
=
．
（2）
=
=
，
=
=
=
＜1.
考點：1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2．數(shù)列通項公式及前項和的求法（裂項相消法）；3．數(shù)列不等式的證明．
世紀百通期末金卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當a>0時，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
一矩形鐵皮的長為8 cm，寬為5 cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，問小正方形的邊長為多少時，盒子容積最大？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
（1）當a＝2時，求函數(shù)y＝f(x)的圖象在x=0處的切線方程；
（2）判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
（3）求證：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)函數(shù)f(x)＝
x3－ax2－ax，g(x)＝2x2＋4x＋c.
(1)試問函數(shù)f(x)能否在x＝－1時取得極值？說明理由；
(2)若a＝－1，當x∈[－3,4]時，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個公共點，求c的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)=lnx+ax+1,a∈R.
(1)求f(x)在x=1處的切線方程.
(2)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
在
與
時都取得極值.
（1）求
的值及
的極大值與極小值；
（2）若方程
有三個互異的實根，求
的取值范圍；
（3）若對
，不等式
恒成立，求的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，
，
（1）若
，求曲線
在
處的切線方程；
（2）若對任意的
，都有
恒成立，求
的最小值；
（3）設(shè)
，
，若
，
為曲線
的兩個不同點，滿足
，且
，使得曲線
在
處的切線與直線AB平行，求證：
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，
.
時，求曲線
在點
處的切線方程；
在區(qū)間
上是減函數(shù)，求
的取值范圍.