Question

已知：點P與點F（2，0）的距離比它到直線x+4=0的距離小2，若記點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程．    
（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點，且OA⊥OB．求證：直線L過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）解法（一）：點P與點F（2，0）的距離比它到直線x+4=0的距離小2，所以點P與點F（2，0）的距離與它到直線x+2=0的距離相等．由拋物線定義能求出曲線C的方程．
解法（二）：設動點P（x，y），則

(x-2)2+y2

=|x+4|-2．再由絕對值性質(zhì)分類討論，能求出曲線C的方程．（2）設直線L：y=kx+b與拋物線的交點為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．若L斜率存在，設斜率為k，則

y=kx+b y2=8x

，能導出L過定點（8，0）；若L斜率不存在，則OA的斜率為1，

y=k y2=8x

，得x=8，即直線L過（8，0）．

解答：（1）解法（一）：點P與點F（2，0）的距離比它到直線x+4=0的距離小2，
所以點P與點F（2，0）的距離與它到直線x+2=0的距離相等．
由拋物線定義得：點p在以F為焦點直線x+2=0為準線的拋物線上，
拋物線方程為y²=8x．
解法（二）：設動點P（x，y），則

(x-2)2+y2

=|x+4|-2
當x≤-4時，（x-2）²+y²=（-x-6）²，化簡得：y²=8（x+2），顯然x≥-2，但x≤-4，故此時曲線不存在；
當x＞-4時，（x-2）²+y²=（x+2）²，化簡得：y²=8x．
（2）設直線L：y=kx+b與拋物線的交點為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
①若L斜率存在，設斜率為k，則

y=kx+b y2=8x

，整理后得ky²-8y+8b=0，且

k≠0 △=64-32kb≥0

y1y2=

8b

k

，又

y12=8x1 y22=8x2

，得x1x2=

y12y22

64

=

b2

k2

由OA⊥OB，得

y1

x1

•

y2

x2

=-1，即

8k

b

=-1，b=-8k
直線為y=k（x-8），所以L過定點（8，0）；
②若L斜率不存在，則OA的斜率為1，

y=k y2=8x

，得x=8，即直線L過（8，0）；
綜上：直線恒過定點（8，0）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．