Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+x）-xlnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[

1

2e

，+∞)

．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=（ax²+x）-xlnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，可得f′（x）=2ax-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，求出函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=2ax-lnx
∵函數(shù)f（x）=（ax²+x）-xlnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=2ax-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立
∴2a≥

lnx

x

令g（x）=

lnx

x

（x＞0），則g′(x)=

1-lnx

x2

令g′（x）＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e；
∴函數(shù)在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+∞）上單調(diào)減
∴x=e時(shí)，函數(shù)取得最大值

1

e

∴2a≥

1

e

∴a≥

1

2e

故答案為：[

1

2e

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，利用分離參數(shù)法解決恒成立問(wèn)題．