Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數在上的單調性；

（2）若有唯一零點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）時，函數在上單調遞增； 時，函數在上單調遞減；時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；（2）見解析.

【解析】

（1）先求導，然后根據a的取值范圍對符號的影響進行討論，進而確定函數的單調性；

（2）通過求導，求得的根，函數在單調遞減，單調遞增，由有唯一零點知，. 聯立求得滿足的方程，利用導函數求出的范圍，再由得出a的范圍，從而命題得證.

解：（1）由題意，，

定義域為：

若，則恒成立，

故在上單調遞增，

若，令，得，

①當，即時，，

則在上單調遞增，

②當，即時，，

則在上單調遞減，

③當，即時，

在上單調遞增，在上單調遞減，

綜上所述，時，函數在上單調遞增，

時，函數在上單調遞減，

時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）證明：由題意，，

，

令，解得是唯一的變號正根，

且①

當時，，單調遞減，

時，，單調遞增，

，

要使有唯一零點，只需，

即②

由①②可知，，

令，顯然在上單調遞增，

,

，

又

由①知，其在上單調遞增，

即得證.