Question

【題目】設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)， 為的導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，函數(shù)，求證： ；

（Ⅲ）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，且 滿足.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增區(qū)間是， ，遞減區(qū)間是.（Ⅱ）見解析；（III）見解析.

【解析】試題分析：由于為，所以判斷的單調(diào)性，需要對(duì)二次求導(dǎo)，根據(jù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間;由，得 ，.令函數(shù)， 分別求導(dǎo)證明.有關(guān)零點(diǎn)問題，利用函數(shù)的單調(diào)性了解函數(shù)的圖像情況，對(duì)極值作出相應(yīng)的要求可控制零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析：（Ⅰ）解：由，可得，

進(jìn)而可得.令，解得，或.

當(dāng)x變化時(shí)， 的變化情況如下表：

x
	+	-	+
	↗	↘	↗

所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是， ，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅱ）證明：由，得，

.

令函數(shù)，則.由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)， ，故當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.因此，當(dāng)時(shí)， ，可得.

令函數(shù)，則.由（Ⅰ）知， 在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減.因此，當(dāng)時(shí)， ，可得.

所以， .

（III）證明：對(duì)于任意的正整數(shù) ， ，且，

令，函數(shù).

由（II）知，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).

所以在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則.

由（I）知在上單調(diào)遞增，故，

于是.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，故在上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點(diǎn)，而，故.

又因?yàn)?/span>， ， 均為整數(shù)，所以是正整數(shù)，

從而.

所以.所以，只要取，就有.