Question

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（）．又數(shù)列{a_n}滿足，a₁=，a_n+1=．
（I ）證明：f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)
（ II ）求f（a_n）的表達式；
（III）設b_n=-，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，試問是否存在正整數(shù)m，n，使得＜成立？若存在，求出這樣的正整數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用賦值法：令x=y=0時，可求f （0）=0．令x=0，y∈（-1，1），則可得f （-y）=-f （y）可證
（Ⅱ）令x=a_n，y=-a_n，可得，結(jié)合已知得2f （a_n）=f （a_n+1+1），可得，利用等比數(shù)列的通項可求
（III）由=，利用等比數(shù)列的求和可求T_n，代入不等式整理得．令t=2ⁿ（4-m），可求得2＜t＜6．即2＜2ⁿ（4-m）＜6，利用反證法
假設存在正整數(shù)m，n使得上述不等式成立，結(jié)合2ⁿ是偶數(shù)，4-m為整數(shù)，可得 或 可求
解答：（Ⅰ）證明：令x=y=0時，則由已知有f（0）-f（0）=f（0）
∴f （0）=0．
再令x=0，y∈（-1，1），則有f（0）-f（y）=f（-y），即f （-y）=-f （y）
∴f （x）是（-1，1）上的奇函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）令x=a_n，y=-a_n，于是
由已知得2f （a_n）=f （a_n+1+1），
∴，
∴數(shù)列{f（a_n）}是以f（a1）=f（）=-1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴…（8分）
（III）=，
∴Tn=b₁+b₂+…+b_n=．…（10分）
于是不等式即，
整理得．
令t=2ⁿ（4-m），于是變形為，等價于2＜t＜6．
即2＜2ⁿ（4-m）＜6．
假設存在正整數(shù)m，n使得上述不等式成立，
∵2ⁿ是偶數(shù)，4-m為整數(shù)，
∴2ⁿ（4-m）=4．
于是 或  
解得或
因此存在正整數(shù)m=2，n=1或m=3，n=2使原不等式成立．…（12分）
點評：本題綜合考查了抽象函數(shù)奇偶性的判斷，注意賦值法的應用，構(gòu)造等比數(shù)列求和的應用及不等式解法的應用，解答本題還要求考生具備一定的綜合應用的能力